2020JMO予選11

円 $\Omega$ の周上に $5$ 点 $A, B, C, D, P$ がこの順にある. 点 $P$ を通り直線 $AB$ に点 $A$ で接する円と点 $P$ を通り直線 $CD$ に点 $D$ で接する円が $\Omega$ の内部の点 $K$ で交わっている. また線分 $AB, CD$ の中点をそれぞれ $M, N$ とすると，$3$ 点 $A, K, N$ および $D, K, M$ はそれぞれ同一直線上にあった. $AK=5, DK=3, KM=7$ が成り立つとし，直線 $PK$ と $\Omega$ の交点のうち $P$ でない方を $Q$ とするとき, 線分 $CQ$ の長さを求めよ. ただし, $XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする.