2025JMO予選11

$\mathrm{JMO}$ 星団は, はじめ $5$ つの星 $O, A, B, C, D$ からなっており, それぞれの星には重要度とよばれる値が割り当てられている. $O$ の重要度は $0$ であり, $A, B, C, D$ の重要度は $1$ である. また, $O$ から $A$ および $C$ へ, $A$ から $B$ および $D$ へ, $B$ から $O$ へ, $C$ から $B$ および $D$ へ, $D$ から $O$ へ向かう一方向の直行便が開設されており, ほかに直行便はない.

　$\mathrm{JMO}$ 星団では星の老朽化を防ぐために, 次の一連の行動からなる操作を定期的に行うことにした.

　$(1)$ 今あるすべての直行便を廃止し, すべての星を破壊する.

　$(2)$ 今回の操作の $(1)$ で廃止したすべての直行便 $f$ に対して, それに対応する星 $S_f$ を $1$ つずつ建設する. その後, $S_f$ の重要度として, $f$ が出発する星と到着する星の重要度の和を割り当てる.

　$(3)$ 今回の操作の $(1)$ で廃止した $2$ つの直行便の組 $(f, f')$ であって, $f$ が到着する星と $f'$ が出発する星が一致するようなものすべてについて, $S_f$ から $S_{f'}$ に向かう一方向の直行便を開設する.

　このとき, $100$ 回目の操作で建設した星の重要度の総和を求めよ.