2025JMO予選12

円 $\Omega$ に内接する五角形 $ABCDE$ があり, $AC = AD$ および $BC \;/\!/\; DE$ をみたしている. また, $\Omega$ の $A$ を含まない方の弧 $CD$ 上に点 $P$ をとり, 直線 $AB, BC, CD, DE, EA$ に関して $P$ と対称な点をそれぞれ $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ とすると, $PC : PD = P_1P_2 : P_4P_5 = 2 : 3$, $CD : P_2P_4 = 4\sqrt{2} : 11$ が成立した. このとき, $\dfrac{P_1P_3}{P_1P_5}$ の値を求めよ. ただし, $XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとする.