2023JMO予選12

集合 $\mathcal{A}$ は, $1$ 以上 $2023$ 以下の整数に対して定義され $1$ 以上 $2023$ 以下の整数値をとる関数からなり, 次の $2$ つの条件をみたしている.


   ・ 任意の $\mathcal{A}$ に属する関数 $f$ および任意の $x < y$ をみたす $1$ 以上 $2023$ 以下の整数 $x,y$ に対し, $f(x) \ge f(y)$ が成り立つ.
   ・ 任意の $\mathcal{A}$ に属する関数 $f,g$ および任意の $1$ 以上 $2023$ 以下の整数 $x$ に対し, $f\bigl(g(x)\bigr)=g\bigl(f(x)\bigr)$ が成り立つ.


このとき, $\mathcal{A}$ の要素の個数としてありうる最大の値を求めよ.