2025JMO予選7

縦 $20$ マス，横 $25$ マスのマス目があり，はじめどのマスにも何も書かれていない．太郎さんはこのマス目を使いゲームを行った．ゲームは何回かのターンに分けて行い，$n$ 回目のターンには以下の操作を行う．

正の整数 $k$ と，何も書かれていない $k$ 個のマス $A_1, A_2, \ldots, A_k$ であって，任意の $1$ 以上 $k-1$以下の整数 $i$ に対して $A_{i+1}$ が $A_i$ の右または上に隣接するようなものを選ぶ．これら $k$ マスすべてに $n$ を書き込む．

　すべてのマスに数が書き込まれたときゲームを終了する．太郎さんがゲーム終了までのターン数をなるべく少なくするように行動するとき，ゲームが終了したときの数字の書き込まれ方としてありうるものは何通りあるか．ただし，回転や裏返しによって一致する書き込まれ方も異なるものとして数える．