2025JMO予選8

$3$ 以上の整数 $n$ に対し, 整数からなる列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ が美しい列であるとは, 次の条件をすべてみたすことをいう.

　・$0 = a_1 < a_2 < \cdots < a_n$．
　・ $a_i = 2025$ をみたす $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $i$ が存在する．
　・任意の $i < j < k$ をみたす $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $i,j,k$ に対し, $\dfrac{a_i + a_k}{2} \leqq a_j$ が成り立つ．

美しい列の長さとしてありうる最大の値を $N$ とおく. 長さ $N$ の美しい列 $a_1, a_2, \ldots, a_N$ について, $a_N$ としてありうる最小の値を求めよ．
ただし, 整数からなる列 $x_1,x_2,\dots,x_l$ の長さは $l$ である.