2025JMO予選3

正の整数 $n$ に対して, 図のような $3n + 2$ マスからなるピースを $P_n$ とよぶ. いま, ピース $P_1$, $P_2$, $P_4$, $P_5$, $P_7$, $P_8$ が $1$ 枚ずつある. $10 \times 10$ のマス目にこれら $6$ 枚をマス目にそって重ならないように置く方法は何通りあるか. ただし, ピースを回転させてもよい. また, マス目の回転や裏返しにより一致する置き方も異なるものとして数える.