2022JMO予選6

一辺の長さが $1$ である正三角形のタイルが $36$ 枚あり, それらを組み合わせて図のような盤面を作る. このとき, $\bullet$ で示されている $30$ 個の点を良い点とよぶ.

この盤面において, それぞれのタイルを赤または青のいずれか $1$ 色に塗る方法であって, 以下の条件をみたすものは何通りあるか.

どの良い点についても, それを頂点にもつタイルのうち, 赤で塗られているものと青で塗られているものの枚数が等しい.

ただし, 盤面を回転したり裏返したりして一致する塗り方は区別して数える.