2020JMO予選8

$100$ 個の正の整数からなる数列 $a_1, a_2, \dots, a_{100}$ が次をみたしている.

  (i) $2\leqq k\leqq 100$ なる整数 $k$ に対し, $a_{k-1}<a_k$ である.
  (ii) $6\leqq k\leqq 100$ なる整数 $k$ に対し, $a_k$ は $2a_1, 2a_2, \dots, 2a_{k-1}$ のいずれかである.

このとき $a_{100}$ としてありうる最小の値を求めよ.