2022JMO予選5

$1$ 以上 $2022$ 以下の整数の組 $(m,n)$ であって, 次の条件をみたすものはいくつあるか.


任意の正の整数 $N$ について, ある非負整数 $k$ とある $N$ より大きい整数 $d$ であって, $\displaystyle\frac{m - k^2}{d}$と$\displaystyle\frac{n + 2k}{d}$がともに整数となるものが存在する.